Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus

Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus on matemaatilise analüüsi ja täpsemalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida diferentsiaaloperaatori D ja integraaloperaatori J reaalarvulisi või kompleksarvulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi.

${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$

Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit aste viitamaks korduvale lineaaroperaatori D rakendamisele funktsioonile f. Täpsemalt nii: ${\displaystyle D^{n}(f)=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots } _{n})(f)=\underbrace {D(D(D\cdots } _{n}(f)}$.

Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus

${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}}$

jaoks, kuivõrd peaks tegu olema ruutjuure analoogiga diferentsiaaloperaatori jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida

${\displaystyle D^{a}}$

mistahes reaalarvu a korral nii, et kui a on täisarvulise väärtusega n ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega.

Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori D astmete hulk on {${\displaystyle D^{a}}$| a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm {${\displaystyle D^{n}}$| n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis.

Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud,^[1] on diferentsiaalvõrrandite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu.